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空间简史之黎曼几何【一分钟数学】
发布日期:2018-10-31    点击次数:1002

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黎曼,支撑爱因斯坦的巨人

牛顿曾经说:“如果说我比别人看得更远些,那是因为我站在了巨人的肩上”。按照牛顿的这种说法,黎曼毫无疑问正是支撑起爱因斯坦的那个巨人。

他以多维空间理论简化了所有自然作用力;认为电力与磁力和重力一样,只是高维空间弯曲产生的结果。

他以“场”来描述重力,以“度量张量”(Riemann metric tensor)描述空间里每一个点的重力场。(所谓“度量张量”,其实就是一组数字,类似坐标。)

黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用。


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黎曼球面


如果你在二维的平面上走,你可以朝着任何方向一直无限地走下去。从直觉上感觉来看,你可以说在这个平面上的所有方向都是无限的,因为你永远都到达不了或者是看到边缘。

但是,你能够想象如果你将这个无限的边缘缩小成一个点,可能有点像在编织袋的边缘拉紧拉绳。一旦你收紧它,袋子被关闭,类似一个变形的球体。


有一个方法可以使这个直觉的知识更加准确。想象着现在有一个球体,它有赤道。在赤道面上有一点p,画出一条直线连接北极,该直线将在某一点与球体相交。如果p点在球体的外部,该直线将与球体的北半球相交。如果p在球体的内部,该直线将与球体的南半球相交。如果p点在球体上,实际上它在赤道上,它本身就是交点。这种将平面上的每个点恰好连接到球体上另外一个点的方式被称为球面投影。

显而易见的是,p点距离赤道平面越远,球面上的投影图像越接近北极。但是没有任何一个点可以投影到北极点。这个投影只能无限接近北极点。p点的投影图像越靠近北极点,则p点越趋于无限。因此现在你知道无限只是一个点,你越拉紧拉绳,它的投影越靠近北极点,直至北极点。

你得到的是一个平面上的点和球体上的点的一一对应的连续的无限集合。带有趋于无限的点的平面被称为黎曼球面(18世纪数学家黎曼发现)。简单地说,黎曼球面就是将复数平面加上一个无穷远点的扩张。


这是非常有用的。 你可能很对于函数很熟悉,例如f(x)=1/x。如果给x取值,然后代入得到f(x)的值。不幸的是,这个函数不能取x=0,因为这将使得右边的等式没有意义。然而,当x越接近0,f(x)越趋向于无限大,如果你能够将无限大和无限小作为一个和同样的一个普通点,函数可以定义在x=0。你也可以用黎曼球面来定义复数函数。例如f(x)=1/x。同样x不能取值0。但是如果把无限大当做黎曼平面的以外的一个点,把整个当做一个球体。然后会得到一个完美的函数。有很多复数函数的研究,都可以用黎曼球体来研究。


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黎曼几何
黎曼几何的核心是张量。

从代数角度讲,它是向量的推广。向量可以看成一维的“表格”(即分量按照顺序排成一排), 矩阵是二维的“表格”(分量按照纵横位置排列), 那么n阶张量就是所谓的n维的“表格”。 张量的严格定义是利用线性映射来描述的。与矢量相类似,定义由若干坐标系改变时满足一定坐标转化关系的有序数组成的集合为张量。

从几何角度讲, 它是一个真正的几何量,也就是说,它是一个不随参照系的坐标变换而变化的东西。向量也具有这种特性。标量可以看作是0阶张量,矢量可以看作1阶张量。张量中有许多特殊的形式, 比如对称张量、反对称张量等等。


有时候,人们直接在一个坐标系下,由若干个数(称为分量)来表示张量,而在不同坐标系下的分量之间应满足一定的变换规则(参见协变规律,反变规律),如矩阵、多变量线性形式等都满足这些规律。一些物理量如弹性体的应力、应变以及运动物体的能量动量等都需用张量来表示。在微分几何的发展中,高斯、黎曼等人在19世纪就导入了张量的概念,爱因斯坦在广义相对论中广泛地利用了张量。

张量分析构成了黎曼几何学的核心内容。这表现在若干方面: 1. 黎曼空间中的曲率是一个张量, 其有关运算需采用绝对微分法; 2. 黎曼空间的度量以度量张量表达; 3. 黎曼空间的平行定义为标积保持不变(即平行被定义为与曲线的夹角保持不变), 依赖克里斯托夫符号; 4. 黎曼空间的直线(短程线)方程的建立依赖协变微分。


正因为有了张量分析这个工具, 黎曼几何才获得了类似于微积分一样的计算功能, 从而摆脱了停留在逻辑构造层面上的束缚, 从根本上与微分几何实现了传承, 并实现了微分几何从直线坐标系到曲线坐标系的进步, 使得几何学与代数学更紧密地联系起来。

要而言之, 张量分析的产生一方面是向量分析的推广, 另一方面是微分几何的发展推动。张量分析与黎曼几何在相互交织中发展, 互相促进。


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与欧氏几何和罗氏几何

数学上的黎曼几何可以看做是欧式几何的推广。欧式几何中的度量是零曲率的,而黎曼几何研究更一般的度量,在不同的度量下,空间的曲率是不同的。物理学中,牛顿力学粗略地说是建立在欧式空间上的。而广义相对论里的时空是一个黎曼流形。



欧氏几何是把认识停留在平面上了,所研究的范围是绝对的平的问题,认为人生活在一个绝对平的世界里。因此在平面里画出的三角形三条边都是直的。两点之间的距离也是直的。但是假如我们生活的空间是一个双曲面,(不是双曲线),这个双曲面,我们可以把它想象成一口平滑的锅或太阳罩,我们就在这个双曲面里画三角形,这个三角形的三边的任何点都绝对不能离开双曲面,我们将发现这个三角形的三边无论怎么画都不会是直线,那么这样的三角形就是罗氏三角形,经过论证发现,任何罗氏三角形的内角和都永远小于180度,无论怎么画都不能超出180度,但是当把这个双曲面渐渐展开时,一直舒展成绝对平的面,这时罗氏三角形就变成了欧氏三角形,也就是我们在初中学的平面几何,其内角和自然是180度。


在平面上,两点间的最短距离是线段,但是在双曲面上,两点间的最短距离则是曲线,因为平面上的最短距离在平面上,那么曲面上的最短距离也只能在曲面上,而不能跑到曲面外抻直,故这个最短距离只能是曲线。若我们把双曲面舒展成平面以后,再继续朝平面的另一个方向变,则变成了椭圆面或圆面,这个时候,如果我们在这个椭圆面上画三角形,将发现,无论怎么画,这个三角形的内角和都大于180度,两点间的最短距离依然是曲线,这个几何就是黎曼几何。这个几何在物理上非常有用,因为光在空间上就是沿着曲线跑的,并非是直线,我们生活在地球上,因此我们的空间也是曲面,而不是平面,但为了生活方便,都不做严格规定,都近似地当成了平面。


黎曼几何作为非欧几何的一种, 它与罗巴切夫斯基几何相比, 有着实质性的不同。罗氏几何主要工作是建立了一整套区别于欧几里得的《几何原本》的逻辑体系; 而黎曼几何的核心问题是以微分几何为基础, 建立曲线坐标系中的微分方法。罗氏几何学的公理系统区别于欧式几何学之处, 仅仅是把欧式几何平行公理改为: 从直线外一点, 至少可以做两条直线和这条直线平行。黎曼几何与罗氏几何的平行公理相反: 过直线外一点, 不能做直线和已知直线平行。也就是说, 黎曼几何规定: 在同一平面内任何两条直线都有公共点, 黎曼几何学不承认存在平行线。很自然就有另一条公设: 直线可以无限延长, 但长度是有限的, 这可以类比为一个球面。


在我们这个不大不小、不远不近的空间里,也就是在我们的日常生活中,欧式几何是适用的;在宇宙空间中或原子核世界,罗氏几何更符合客观实际;在地球表面研究航海、航空等实际问题中,黎曼几何更准确一些。

黎曼曲率等于1、-1和0的空间分别是黎曼球空间、罗巴切夫斯基空间和欧氏空间。欧氏空间可看作黎曼空间的特例。

黎曼统一了黎氏几何,罗氏几何,欧氏几何,并且预见,物质的存在可能造成空间的弯曲。为爱因斯坦的广义相对论准备了数学基础。


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黎曼几何与广义相对论

牛顿说,所有相对于绝对空间作匀速直线运动的参考系是惯性系。爱因斯坦的相对论里没有绝对空间,于是相对论里无法沿用牛顿的惯性系概念。

牛顿为了解释地球绕太阳的非惯性曲线运动,引入了万有引力的概念,说太阳引力拉着地球充当向心力。问题是,物体之间为什么会有引力,一直找不到原因。

爱因斯坦注意到惯性力与物体的惯性质量成正比,这个特点与万有引力非常相似,提示爱因斯坦把惯性系定义问题和引力问题一起解决,他推测引力与与惯性力有相同的本质。万有引力不是真正的力,而是时空弯曲的表现。

广义相对论(General Relativity),是爱因斯坦于1915年以几何语言建立而成的引力理论,统合了狭义相对论和牛顿的万有引力定律,将引力改描述成因时空中的物质与能量而弯曲的时空,以取代传统对于引力是一种力的看法。

广义相对论解释:地球并不受引力牵引,而是保持惯性运动,由于太阳的质量使空间弯曲,地球的弯曲轨道根本就是惯性运动轨道,是弯曲时空中的短程线(相当于平直时空的直线)。弯曲的空间没有直线,只有最短线,平直的空间里,直线即最短线。


黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用。在广义相对论中,引力被描述为时空的一种几何属性(曲率);将引力解释成四维空间的曲率。而这种时空曲率与处于时空中的物质与辐射的能量-动量张量直接相联系,其联系方式即是爱因斯坦的引力场方程(一个二阶非线性偏微分方程组)。

在爱因斯坦的广义相对论中的空间几何就是黎曼几何。在广义相对论里,爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的观念,他认为时空只是在充分小的空间里以一种近似性而均匀的,但是整个时空却是不均匀的。在物理学中的这种解释,恰恰是和黎曼几何的观念是相似的。

爱因斯坦最得意的还是广义相对论。他说,如果我没有发现狭义相对论,5年之内必有人发现它。如果我没有发现广义相对论,50年之内必无人发现它。将近一百年过去了,广义相对论依然是一个高度活跃的研究领域。无疑这是站在了巨人的肩膀上。
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